关于图的正常无冲突着色的若干注记

若图的一个顶点着色满足：对于每个非孤立顶点，在其（开）邻域中均存在恰好出现一次的颜色，则称该着色关于邻域是**无冲突**的。根据 [Fabrici 等人，《平面图关于邻域的正常无冲突与唯一最大着色》，arXiv 预印本] 中的定义，图 $G$ 的此类正常着色所需的最小颜色数称为 $G$ 的 PCF 色数，记作 $\chi_{\mathrm{pcf}}(G)$。本文确定了若干基本图类的这一图参数的值，包括树、圈、超立方体以及完全图的细分图。我们还给出了用其他图参数表示的 $\chi_{\mathrm{pcf}}(G)$ 的上界，特别地，证明了 $\chi_{\mathrm{pcf}}(G) \leq 5\Delta(G)/2$ 并刻画了等式成立的条件。对于 $4\le k\le 6$，建立了若干关于图是 PCF $k$-可着色的充分条件。文末提出了几个待解决的问题。