开邻域上的无冲突染色

在无向图中，无冲突染色（关于开邻域）是对图$G$的顶点进行颜色分配，使得$G$中每个顶点在其开邻域中都有一个颜色唯一的顶点。无冲突染色问题要求找出无冲突染色所需的最少颜色数。无冲突染色问题是NP完全的。由Abel等人[SODA 2017]的结果可推知，每个平面图都可用至多九种颜色进行无冲突染色。由于平面图已知的最佳下界为四种颜色，同一篇论文中提出了是否可用更少颜色的问题。我们在回答该问题上取得进展，证明每个平面图都可用至多六种颜色染色。利用相同的证明思路，我们证明每个外平面图都可用至多五种颜色染色。采用不同方法，我们进一步证明每个外平面图都可用至多四种颜色染色。最后，我们研究Kneser图上的该问题。我们证明当$n\geq k(k+1)^2 + 1$时，对Kneser图$K(n,k)$染色所需且足够的颜色数为$k+2$。