开邻域无冲突着色的组合界

在无向图 $G$ 中,关于开邻域的无冲突着色(记为 CFON 着色)是对顶点分配颜色,使得每个顶点在其开邻域中都有一个唯一颜色的顶点。$G$ 的 CFON 着色所需的最少颜色数称为 $G$ 的 CFON 色数,记为 $\chi_{ON}(G)$。判定 $\chi_{ON}(G) \leq k$ 是否成立的问题是 NP 完全的。我们得到如下结果:* Bodlaender、Kolay 和 Pieterse [WADS 2019] 给出了上界 $\chi_{ON}(G)\leq {\sf fvs}(G)+3$,其中 ${\sf fvs}(G)$ 表示 $G$ 的最小反馈顶点集的大小。我们给出了改进界 $\chi_{ON}(G)\leq {\sf fvs}(G)+2$,该界是紧的,从而回答了上述论文中的一个开放问题。* 我们研究了 $\chi_{ON}(G)$ 与图 $G$ 的路径宽度 ${\sf pw}(G)$ 之间的关系。上述 WADS 2019 的论文给出了上界 $\chi_{ON}(G) \leq 2{\sf tw}(G)+1$,其中 ${\sf tw}(G)$ 表示 $G$ 的树宽。这隐含了上界 $\chi_{ON}(G) \leq 2{\sf pw}(G)+1$。我们给出了改进界 $\chi_{ON}(G) \leq \lfloor \frac{5}{3}({\sf pw}(G)+1) \rfloor$。* 我们证明了关于结构参数邻域多样性和到簇的距离的 $\chi_{ON}(G)$ 的新界,改进了已有结果。* 我们还研究了 CFON 着色问题的部分着色变体,该变体允许顶点不被着色。令 $\chi^*_{ON}(G)$ 表示按此变体着色 $G$ 所需的最少颜色数。Abel 等人 [SIDMA 2018] 证明了当 $G$ 为平面图时 $\chi^*_{ON}(G) \leq 8$。他们问平面图是否可用更少的颜色。我们通过证明对所有平面 $G$ 有 $\chi^*_{ON}(G) \leq 5$ 回答了该问题。我们所有的界都是构造性算法过程的结果。