冲突自由染色指数的渐近紧上界

图 $G$ 的冲突自由染色指数是指在图的边染色中，使得每个边的邻居包含恰好出现一次颜色的最少颜色数。其顶点类比是冲突自由染色数。这两个参数在自然情况下与线图的第二个参数一致。已知后者的两个变体 exhibits 显著不同的行为。对于封闭顶点邻居（即每个顶点都属于其自身的邻居），已知 $O(\ln^2 \Delta)$ 种颜色就足够了，其中 $\Delta$ 表示 $G$ 的最大度数，且该上界在阶数上是紧致的。相比之下，对于开放邻居，相应的该参数可达 $\Delta+1$，但对于无爪图受到 $O(\ln^{2+\varepsilon} \Delta)$ 的上界限制。由于线图是无爪图，这给出了开放邻居情形下边类比的最佳一般上界。对于封闭边邻居，已知更强的一般上界为 $3\log_2 \Delta + 4$。在本文中，我们证明对于这两个变体，冲突自由染色指数受到 $(1+o(1))\log_2 \Delta$ 的上界。由于完全图在封闭和开放情形下都需要至少 $(1 - o(1)) \log_2 \Delta$ 种颜色，我们的结果在阶数和主导常数上都是渐近紧致的。此外，我们通过证明在密集和相对稀疏两个 regime 中的随机图几乎总是需要 $(1 - o(1)) \log_2 \Delta$ 种颜色来加强这一结论。我们的证明将概率方法与确定性图分解技术相结合，以及与所讨论参数相关的新的结果与图的染色数联系起来。