无冲突色数 vs 无冲突色指数

给定图 $G$ 的一个顶点染色若每个顶点的闭邻域都包含一种唯一颜色（即该颜色在邻域中仅出现一次），则称为无冲突的。此类染色中颜色数的最小值称为 $G$ 的无冲突色数，记为 $\chi_{CF}(G)$。具有给定最大度 $\Delta$ 的图的无冲突色数最大可能值是多少？显然有 $\chi_{CF}(G)\leq \chi(G)\leq \Delta+1$，但这远非最优——由于 Glebov、Szab\'o 和 Tardos 以及 Bhyravarapu、Kalyanasundaram 和 Mathew 的结果，已知该答案为 $\Theta\left(\ln^2\Delta\right)$。我们表明，在线图类中对同一问题的答案是 $\Theta\left(\ln\Delta\right)$——也就是说，最大度为 $\Delta$ 的图中无冲突色指数的极值远小于无冲突色数的极值。对于 $\chi_{CF}(G)$ 的相同结果也在近正则图类（即最小度 $\delta \geq \alpha \Delta$ 的图）中给出。