最大度较大的图的正常无冲突染色

图的正常染色若对每個非孤立顶点，其邻域中恰有一种颜色只出现一次，则称为\emph{无冲突}的。Caro、Petruševski 与 Škrekovski 证明了每个图 $G$ 都有至多 $5\Delta(G)/2$ 种颜色的正常无冲突染色，并猜想对每个满足 $\Delta(G)\ge 3$ 的连通图 $G$，$\Delta(G)+1$ 种颜色已足够。我们的第一个主要结果是：即便对于列表染色，对每个满足 $\Delta(G)\ge 10^{8}$ 的图 $G$，$\left\lceil 1.6550826\Delta(G)+\sqrt{\Delta(G)}\right\rceil$ 种颜色已足够；我们也对满足 $\Delta(G)\ge 750$ 的所有图证明了稍弱的界。这些结果源于我们关于图 $G$ 与“冲突”超图 ${\mathcal H}$ 组成的二元组的正常无冲突列表染色的一般框架。作为该一般框架结果的另一推论，每个图都有正常 $(\sqrt{30}+o(1))\Delta(G)^{1.5}$-列表染色，使得每个双色分支是至多三个顶点的路，其中颜色数在常数因子意义下是最优的。我们的证明使用了一种相当新颖的递归计数论证，称为 Rosenfeld 计数，它是 Lovász 局部引理或熵压缩的一个变体。我们还对我们的一般框架的分数类比（针对图与冲突超图二元组的正常无冲突染色）证明了渐近最优结果。一个推论指出，每个图 $G$ 都有分数 $(1+o(1))\Delta(G)$-染色，使得每个分数双色分支至多有两个顶点。特别地，它意味着 Caro 等人猜想的分数类比在强意义下渐近成立。