f-核为 2-正则的无爪图的 f-色指数

设 $G$ 为一个图，$f:V(G)\rightarrow \mathbb{N}$ 为一个函数。图 $G$ 的 $f$-着色是一种边着色，使得每种颜色在每个顶点 $v\in V(G)$ 处至多出现 $f (v)$ 次。对 $G$ 进行 $f$-着色所需的最少颜色数称为 $G$ 的 $f$-色指数，记为 $\chi'_{f}(G)$。已证明对于任意图 $G$，有 $\Delta_{f}(G)\le \chi'_{f}(G)\le \Delta_{f}(G)+1$，其中 $\Delta_{f}(G)=\max_{v\in V(G)} \lceil \frac{d_G(v)}{f(v)} \rceil$。如果 $\chi'_{f}(G)=\Delta_{f}(G)$，则称图 $G$ 为 $f$-1 类，否则为 $f$-2 类。另外，$G_{\Delta_f}$ 是 $G$ 在集合 $\{v\in V(G):\,\frac{d_G(v)}{f(v)}=\Delta_{f}(G)\}$ 上的诱导子图。在本文中，我们证明了如果 $G$ 是一个连通图且满足 $\Delta(G_{\Delta_f})\leq 2$，并且 $G$ 拥有一个大小至多为 $\Delta_f(G) -2$ 的边割，该边割是一个匹配或星形图，那么 $G$ 是 $f$-1 类。我们还证明了如果 $G$ 是一个连通图，且 $G_{\Delta_f}$ 的每个连通分支都是单圈图或树，并且 $G_{\Delta_f}$ 不是 2-正则的，那么 $G$ 是 $f$-1 类。此外，我们表明除了一个图之外，每个 $f$-核为 2-正则且存在顶点 $v$ 使得 $f(v)\neq 1$ 的连通无爪图 $G$ 都是 $f$-1 类。