通过边连通度研究正则图的 b-色数

图 $G$ 的 b-色数，记作 $\phi(G)$，是使得 $G$ 存在一个使用 $k$ 种颜色的正常着色，且每个颜色类中都有一个顶点与其余每个颜色类中的至少一个顶点相邻的最大整数 $k$。El Sahili 和 Kouider [关于正则图的 b-着色，研究报告 1432，LRI，奥赛大学，法国，2006] 提出了一个问题：是否每个围长至少为 5 的 $d$-正则图 $G$ 都满足 $\phi(G)=d+1$。Blidia、Maffray 和 Zemir [关于正则图的 b-着色，Discrete Appl. Math. 157 (2009)，1787-1793] 证明了 Petersen 图对该问题给出了否定回答，随后猜想 Petersen 图是唯一的例外。本文研究该问题的一个加强形式。图 $G$ 的边连通度，记作 $\lambda(G)$，是使得 $G\setminus U$ 不连通或成为仅有一个顶点的图的边子集 $U$ 的最小基数。若一个 $d$-正则图 $G$ 的每个最小边割都是与 $G$ 中某个顶点关联的所有边的集合，即 $\lambda(G)=d$ 且 $G$ 的每个最小边割都孤立一个顶点，则称 $G$ 为超边连通的。我们证明：若 $G$ 是一个不含 4-圈的 $d$-正则图，则只要 $G$ 不是超边连通的，就有 $\phi(G)=d+1$。