可染色所有 $r$-图的 $r$-图集合

若每个奇顶点集与其补集之间至少连有 $r$ 条边，则称一个 $r$-正则图为 $r$-图。设 $G$ 与 $H$ 为 $r$-图。$G$ 的一个 $H$-染色是一个映射 $f\colon E(G) \to E(H)$，使得 $G$ 中每 $r$ 条相邻的边被映射到 $H$ 中 $r$ 条相邻的边。对每个 $r\geq 3$，令 $\mathcal{H}_r$ 为连通 $r$-图的一个包含意义下极小的集合，使得对每个连通 $r$-图 $G$，存在 $H \in \mathcal{H}_r$ 可染色 $G$。我们证明 $\mathcal{H}_r$ 是唯一的，并通过说明 $G \in \mathcal{H}_r$ 当且仅当唯一可染色 $G$ 的连通 $r$-图是 $G$ 自身来刻画 $\mathcal{H}_r$。Petersen 染色猜想断言 Petersen 图 $P$ 可染色每个无桥三次图。我们证明若其成立，则这是一种非常排他性的情形。事实上，要么 $\mathcal{H}_3 = \{P\}$，要么 $\mathcal{H}_3$ 是无限集；且若 $r \geq 4$，则 $\mathcal{H}_r$ 是无限集。对简单 $r$-图的限制亦有类似结果。由定义，1 类 $r$-图（即边色数等于 $r$ 者）可用任意 $r$-图染色。因此，我们的研究将聚焦于边色数大于 $r$ 的 $r$-图，亦称 2 类 $r$-图。我们确定了最小的 2 类 $r$-图之集合，并证明其为 $\mathcal{H}_r$ 的子集。