小调色板指数图的刻画

给定图 $G$ 的一个边染色，我们将 $G$ 的每个顶点 $v$ 关联到出现在与 $v$ 关联的边上的颜色集合。$G$ 的调色板指数定义为在所有可能的 $G$ 的边染色上取此类不同集合的最小数量。具有小调色板指数的图允许一种边染色，该染色在局部可被视为几乎对称，因为其顶点周围仅出现少数不同的颜色集合。调色板指数为 $1$ 的图是容许 $r$-边染色的 $r$-正则图，而调色板指数为 $2$ 的正则图不存在。此处，我们根据在正则子图中存在合适分解来刻画所有调色板指数为 $2$ 或 $3$ 的图。作为推论，我们获得了调色板指数为 $3$ 的正则图的完整刻画。