图的 $k$-正常指标

在边染色图中，若树 $T$ 的任意两条相邻边染以不同颜色，则称 $T$ 为\emph{正常树}。设 $G$ 为 $n$ 阶图，$k$ 为固定整数且 $2\leq k\leq n$。对于顶点集 $S\subseteq V(G)$，包含 $G$ 中 $S$ 顶点的树称为\emph{$S$-树}。$G$ 的一种边染色称为\emph{$k$-正常染色}，若对 $G$ 中每个含 $k$ 个顶点的集合 $S$，均存在一棵正常的 $S$-树。非平凡连通图 $G$ 的\emph{$k$-正常指标}（记为 $px_k(G)$）是指 $G$ 的 $k$-正常染色所需的最少颜色数。本文给出了关于非平凡连通图 $G$ 的 $px_k(G)$ 的一些简单观察。同时，确定了若干特殊图的 $k$-正常指标，并且对于满足 $2\leq a\leq b$ 的每对正整数 $a$, $b$，针对每个满足 $3\leq k\leq n$ 的整数 $k$，构造了一个连通图 $G$ 使得 $px_k(G)=a$ 且 $rx_k(G)=b$。此外，分别刻画了具有 $k$-正常指标 $n-1$ 和 $n-2$ 的图。