图的（顶点）单色指数

在边染色图$H$中，树$T$称为单色树，如果$T$的所有边具有相同颜色。对于$S\subseteq V(H)$，$H$中的单色$S$-树是包含$S$顶点的$H$的单色树。对于连通图$G$和给定整数$k$（$2\leq k\leq |V(G)|$），$G$的$k$-单色指数$mx_k(G)$是所需的最大颜色数，使得对于$V(G)$的每个$k$顶点子集$S$，存在单色$S$-树。本文证明，对于任意连通图$G$，对每个满足$3\leq k\leq |V(G)|$的$k$，有$mx_k(G)=|E(G)|-|V(G)|+2$。在顶点染色图$H$中，树$T$称为顶点单色树，如果$T$的所有内部顶点具有相同颜色。对于$S\subseteq V(H)$，$H$中的顶点单色$S$-树是包含$S$顶点的$H$的顶点单色树。对于连通图$G$和给定整数$k$（$2\leq k\leq |V(G)|$），$G$的$k$-单色顶点指数$mvx_k(G)$是所需的最大颜色数，使得对于$V(G)$的每个$k$顶点子集$S$，存在顶点单色$S$-树。我们证明，对于给定的连通图$G$和正整数$L$（满足$L\leq |V(G)|$），判定$mvx_k(G)\geq L$对每个满足$2\leq k\leq |V(G)|$的整数$k$均是NP完全的。我们还得到了$k$-单色顶点指数的一些Nordhaus-Gaddum型结果。