图的全单色连通性再探

如果图的所有边和顶点都被染色，则称该图是{\it 全染色}的。如果图的任意两个顶点由一条路径连接，且该路径上的边和内部顶点颜色相同，则该图的全染色称为{\it 全单色连通染色}（简称{\it TMC-coloring}）。对于连通图 $G$，${\it 全单色连通数}$ 记为 $tmc(G)$，定义为 $G$ 的一种 TMC-coloring 中使用颜色的最大数量。注意若 $G$ 不连通则不存在 TMC-coloring，此时我们简单地令 $tmc(G)=0$。本文首先刻画了阶为 $n$、大小为 $m$ 且分别满足 $tmc(G)=3,4,5,6,m+n-2,m+n-3$ 和 $m+n-4$ 的所有图。然后我们确定了随机图满足 $tmc(G)\geq f(n)$ 的阈值函数，其中 $f(n)$ 是满足 $1\leq f(n)<\frac{1}{2}n(n-1)+n$ 的函数。最后，我们证明对于给定的连通图 $G$ 和满足 $L\leq m+n$ 的正整数 $L$，判定 $tmc(G)\geq L$ 是 NP-complete 的。