关于图的全正常连通数的 Nordhaus-Gaddum 型定理

如果一个图的所有边和顶点都被着色，则称该图为全着色的。全着色图 $G$ 中的路径 $P$ 称为全正常路径，如果 $(i)$ $P$ 的任意两条相邻边被赋予不同的颜色；$(ii)$ $P$ 的任意两个相邻内部顶点被赋予不同的颜色；$(iii)$ $P$ 的任意内部顶点被赋予与其在 $P$ 中的关联边不同的颜色。如果全着色图 $G$ 的任意两个不同顶点都由一条全正常路径连接，则称该图是全正常连通的。连通图 $G$ 的全正常连通数记为 $tpc(G)$，是使 $G$ 全正常连通所需的颜色最小数。在本文中，我们首先刻画了满足 $tpc(G)=n-1$ 的 $n$ 顶点图 $G$。基于此，我们得到了关于全正常连通数的 Nordhaus-Gaddum 型结果。我们证明，如果 $G$ 和 $\overline{G}$ 是 $n$ 顶点上的连通互补图，则 $6\leq tpc(G)+tpc(\overline{G})\leq n+2$。给出的例子表明，对于 $n\geq 4$，下界是紧的。当且仅当 $G$ 或 $\overline{G}$ 是最大度为 $n-2$ 的树时，对于 $n\geq 5$ 达到上界。