图的彩虹连通数的Nordhaus-Gaddum型定理

一个边染色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点之间都存在一条边颜色各不相同的路径。$G$的彩虹连通数，记为$rc(G)$，是使$G$彩虹连通所需的最少颜色数。本文给出了彩虹连通数的一个Nordhaus-Gaddum型结果。我们证明，如果$G$和$\bar{G}$都是连通的，那么$4\leq rc(G)+rc(\bar{G})\leq n+2$。给出了例子说明对所有$n\geq 4$，上界是紧的；对所有$n\geq 8$，下界是紧的。对于其余较小的$n=4,5,6,7$，我们也给出了紧界。