彩虹连通数与块的数量

如果一个边着色图 $G$ 中每一对顶点都由一条边颜色互异的路径连接，则称该图是彩虹连通的。$G$ 的彩虹连通数 $rc(G)$ 定义为最小整数 $t$，使得存在一种使用 $t$ 种颜色的 $G$ 的边着色，从而使 $G$ 彩虹连通。对于阶数为 $n$ 且无割顶点（即 2-连通图）的图 $G$，已证明 $rc(G)\leq \lceil\frac n 2 \rceil$ 且该界是紧的。在本文中，我们证明了对于阶数为 $n$ 且具有割顶点的连通图 $G$，有 $rc(G) \leq\frac{n+r-1} 2$，其中 $r$ 是 $G$ 中具有偶数阶的块的数量，且该上界是紧的。此外，我们还获得了无桥图（即 2-边连通图）的一个紧上界。