直径为 3 的无桥图彩虹连通数的上界

在边着色图 $G$ 中（相邻边可能有相同颜色），若路径中没有两条边颜色相同，则称之为彩虹路径。图 $G$ 的彩虹连通数 $rc(G)$ 是最小整数 $k$，使得存在 $G$ 的一个 $k$-边着色，令 $G$ 中每对不同的顶点都由一条彩虹路径连接。已知对于每个整数 $k\geq 2$，判定图 $G$ 是否有 $rc(G)\leq k$ 是 NP-Hard 的，且若图 $G$ 满足 $rc(G)\leq k$，则其直径 $diam(G)\leq k$。在前序论文中，我们证明了直径为 2 的无桥图的彩虹连通数至多为 5。在本文中，我们证明了直径为 3 的无桥图的彩虹连通数至多为 9。我们还证明，对于任何半径为 $r$ 的无桥图 $G$，若 $G$ 的每条边都包含在一个三角形中，则 $rc(G)\leq 3r$。作为应用，我们得到对于任何最小度至少为 3 的图 $G$，$rc(L(G))\leq 3 rad(L(G))\leq 3 (rad(G)+1)$。