两类图的彩虹$k$-连通度

在边着色图$G$中，相邻边可以着相同颜色，如果$G$中没有两条边颜色相同，则称该路径为彩虹路径。对于$\kappa$-连通图$G$和满足$1\leq k\leq \kappa$的整数$k$，$G$的彩虹$k$-连通度$rc_k(G)$定义为最小的整数$j$，使得存在$G$的一个$j$-边着色，其中$G$的任意两个不同顶点由$k$条内部不相交的彩虹路径连接。设$G$是一个完全$(\ell+1)$-部图，其中有$\ell$个部分的大小为$r$，一个部分的大小为$p$，其中$0\leq p <r$（当$p=0$时，$G$是一个每个部分大小为$r$的完全$\ell$-部图）。本文研究$G$的彩虹$k$-连通度。我们证明，对于每一对整数$k\geq 2$和$r\geq 1$，存在一个整数$f(k,r)$，使得如果$\ell\geq f(k,r)$，则$rc_k(G)=2$。作为推论，我们将$f(k)$的上界从$(k+1)^2$改进为$ck^{{3/2}}+C$，其中$0<c<1$，$C=o(k^{{3/2}})$，而$f(k)$是满足如果$n \geq f(k)$则$rc_k(K_n)=2$的整数。