具有受限彩虹$2$-连通数的图的大小

设$k$为正整数，$G$为$k$-连通图。若一条边染色路径的所有边颜色互异，则称其为\emph{彩虹}路径。$G$的\emph{彩虹$k$-连通数}记为$rc_k(G)$，是指$G$的一种边染色中使用的最少颜色数，使得任意两个顶点由$k$条内部顶点不相交的彩虹路径相连。函数$rc_k(G)$由Chartrand、Johns、McKeon和Zhang于2009年引入，此后引起了广泛关注。设$t_k(n,r)$表示具有$rc_k(G)\le r$的$n$个顶点的$k$-连通图$G$的最少边数。设$s_k(n,r)$表示具有$rc_k(G)\ge r$的$n$个顶点的$k$-连通图$G$的最大边数。函数$t_1(n,r)$和$s_1(n,r)$此前已被多位作者研究。本文研究函数$t_2(n,r)$和$s_2(n,r)$。我们确定了$t_2(n,r)$的界，由此推出$t_2(n,2)=(1+o(1))n\log_2 n$，且当$r\ge 3$时$t_2(n,r)$关于$n$是线性的。我们还对函数$s_2(n,r)$给出了一些注记。