图的彩虹单色 $k$-边连通染色

边染色图中的一条路径若其所有边具有相同颜色，则称为单色路径。若 $k$ 条路径 $P_1,\cdots,P_k$ 中每条 $P_i$ 均为单色，且对任意 $i\neq j$，$P_i$ 与 $P_j$ 颜色不同，则称它们为彩虹单色路径。图 $G$ 的一种边染色若使 $G$ 中任意两个不同顶点之间至少由 $k$ 条彩虹单色路径相连，则称为彩虹单色 $k$-边连通染色（简称 $RMC_k$-染色）。我们用 $rmc_k(G)$ 表示保证 $G$ 具有一个 $RMC_k$-染色的最大颜色数，该数称为彩虹单色 $k$-边连通数。我们证明了图的 $RMC_k$-染色的存在性，进而给出了 $rmc_k(G)$ 的一些界，并给出了一些 $rmc_k(G)$ 达到下界的图。我们还得到了满足 $rmc_k(G(n,p))\geq f(n)$ 的阈值函数，其中 $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor> k\geq 1$。