关于图的 $k$-色连通数的更多研究

如果对于边着色图 $G$ 的每对顶点之间，都存在一条至少使用 $k$ 种不同颜色的路径，则称 $G$ 为 $k$-色连通的。$G$ 的 $k$-色连通数记为 $cc_{k}(G)$，是对 $G$ 的边进行着色使其成为 $k$-色连通所需的最少颜色数。首先，我们证明若 $H$ 是连通图 $G$ 的细分，则 $cc_{k}(H)\leq cc_{k}(G)$。其次，对于 2-连通图，我们给出了以最小度和边数表示的充分条件以保证 $cc_{k}(G)=k$。作为副产品，我们证明了几乎所有图的 $k$-色连通数均为 $k$。最后，我们研究了连通图的 $k$-色连通数与彩虹连通数之间的关系。此外，我们给出了某些图类的 $k$-色连通数的精确值：轮图和完全图的细分，以及广义 $\theta$-图。