图的正常连通数的最小度与边数条件

若边染色图 $G$ 的任意两个顶点都由一条正常路径连接，则称其为正常连通的。连通图 $G$ 的正常连通数记为 $pc(G)$，是指使 $G$ 正常连通所需的最小颜色数。Susan A. van Aardt 等人给出了以图的大小为条件的正常连通数不超过 $k$ 的充分条件。在本注记中，我们在添加最小度条件并优化边数的条件下研究正常连通数。我们的主要结果如下：添加最小度条件后：设 $G$ 为阶为 $n$ 的连通图，$k\geq3$。若 $|E(G)|\geq \binom{n-m-(k+1-m)(\delta+1)}{2} +(k+1-m)\binom{\delta+1}{2}+k+2$，则 $pc(G)\leq k$，其中当 $\delta=1$ 时 $m$ 取 $t$，当 $\delta\geq2$ 时 $m$ 取 $\lfloor \frac{k}{\delta-1} \rfloor$。此外，若 $k=2$ 且 $\delta=2$，则 $pc(G)\leq 2$，例外为 $G\in \{G_{1}, G_{n}\}$（$n\geq8$），其中 $G_{1}=K_{1}\vee 3K_{2}$，$G_{n}$ 由完全图 $K_{n-5}$ 与 $K_{1}\vee (2K_{2})$ 通过将 $K_{n-5}$ 的任意顶点与 $K_{1}\vee (2K_{2})$ 中度为 $d(v)=4$ 的顶点相连而得到。若 $k=2$、$\delta \geq 3$，我们猜想 $pc(G)\leq 2$，其中在假设中当 $\delta=3$ 时 $m$ 取 $1$，当 $\delta\geq4$ 时 $m$ 取 $0$。