关于图的正常连接数的两个猜想

边染色图中的一条路径若其任意两条连续边不染相同颜色，则称为正常路径。对于连通图$G$，其正常连接数$pc(G)$定义为将其边染色所需的最少颜色数，使得$G$的每对相异顶点间由$G$中至少一条正常路径连接。本文考虑关于图的正常连接数的两个猜想。第一个猜想由Borozan等人在[Discrete Math. 312(2012), 2550-2560]提出：若$G$是连通度$\kappa(G)=2$且最小度$\delta(G)\ge 3$的非完全图，则$pc(G)=2$。我们给出一族反例以否定该猜想。然而，由Thomassen的一个结果可知3-边连通非完全图的正常连接数为2。利用此结果，我们可证明若$G$是直径$diam(G)=3$的2-连通非完全图，则$pc(G)=2$，这解决了我们要提及的第二个猜想，该猜想由Li和Magnant在[Theory \& Appl. Graphs 0(1)(2015), Art.2]提出。