关于图的正常连接数猜想的一个解

边染色图中的一条路径若其任意两条相邻边不染相同颜色，则称为正常路径。对于连通图 $G$，其正常连接数 $pc(G)$ 定义为对其边染色所需的最少颜色数，使得 $G$ 中每对相异顶点之间至少由一条 $G$ 中的正常路径连接。最近，Li和Magnant在[Theory Appl. Graphs 0(1)(2015), Art.2]提出如下猜想：若 $G$ 是阶 $n \geq 5$ 且最小度 $\delta(G) \geq n/4$ 的连通非完全图，则 $pc(G)=2$。本文中，我们证明该猜想为真，除分别有两个在7和8个顶点上的小图外。作为一个副产品，我们得到若 $G$ 是阶 $n\geq 4$ 且 $\delta(G)\geq \frac{n+6}{8}$ 的连通二部图，则 $pc(G)=2$。