关于图的彩虹连通数两个结果的一个注记

设 $G$ 为一条边可与其相邻边同色的边着色图,若 $G$ 的任意两顶点之间都存在一条边颜色互不相同的路径将其相连,则称 $G$ 是彩虹连通的。连通图 $G$ 的彩虹连通数 $rc(G)$ 是使 $G$ 成为彩虹连通图所需的最少颜色数。Caro 等人在 "On rainbow connection, Electron. J. Combin. 15(2008), R57" 中证明了阶为 $n$ 且最小度为 $\delta$ 的连通图 $G$ 满足上界 $rc(G)\leq n-\delta$。最近,Shiermeyer 在 "Bounds for the rainbow connection number of graphs, Discuss. Math Graph Theory 31(2011), 387--395" 中将其推广为 $rc(G)\leq n-\frac{\sigma_2}{2}$,其中 $\sigma_2$ 为最小度和。这两个结果的证明几乎相同,都是先固定最小度 $\delta$,然后对 $n$ 进行归纳。本短注指出,这一证明技巧并不严格成立。幸运的是,Caro 等人的结果在经过我们改进的证明下仍然成立。然而,我们并不知道 Shiermeyer 的结果是否仍然成立。