关于图彩虹指数上界的注记

在边着色图 $G$ 中（相邻边可着相同颜色），若路径上任意两条边颜色不同，则称该路径为彩虹路径。连通图 $G$ 的彩虹连通数记为 $rc(G)$，定义为对 $G$ 的边进行着色所需的最少颜色数，使得 $G$ 中任意两个顶点间都存在一条彩虹路径。类似地，若 $G$ 中一棵树的任意两条边颜色不同，则称该树为彩虹树。使得对于 $V(G)$ 的每个 $k$-子集 $S$ 都存在一棵连接 $S$ 的彩虹树所需的 $G$ 边着色的最少颜色数，称为 $G$ 的 $k$-彩虹指数，记为 $rx_k(G)$，其中 $k$ 为满足 $2\leq k\leq n$ 的整数。Chakraborty 等人得到了如下结果：对于任意 $\epsilon> 0$，最小度至少为 $\epsilon n$ 的连通图具有有界的彩虹连通数，且该界仅依赖于 $\epsilon$。Krivelevich 和 Yuster 证明了若 $G$ 有 $n$ 个顶点且最小度为 $\delta(G)$，则 $rc(G)<20n/\delta(G)$。随后 Chandran 等人将此界改进为 $3n/(\delta(G)+1)+3$。由于 $rc(G)=rx_2(G)$，一个自然产生的问题是：对于一般的 $k$，确定 $rx_k(G)$ 作为最小度 $\delta(G)$ 函数的真实性态。本文通过 Szemer\'{e}di 正则性引理、连通 2-步控制集、连通 $(k-1)$-控制集以及 $G$ 的 $k$-控制集等不同方式，给出了 $rx_k(G)$ 关于最小度 $\delta(G)$ 的上界。