图的 3-彩虹指数的一些上界

在边着色图 $G$ 中，若树 $T$ 的任意两条边未被赋予相同颜色，则称 $T$ 为\emph{彩虹树}。$G$ 的\emph{$k$-彩虹着色}是指 $G$ 的一种边着色，其性质为：对于 $G$ 中任意 $k$ 个顶点的集合 $S$，在 $G$ 中存在一棵彩虹树 $T$ 使得 $S\subseteq V(T)$。$G$ 的 $k$-彩虹着色所需的最少颜色数称为 $G$ 的\emph{$k$-彩虹指数}，记为 $rx_k(G)$。在本文中，我们考虑 $G$ 的 3-彩虹指数 $rx_3(G)$。我们首先证明，对于最小度 $\delta(G)\geq 3$ 的连通图 $G$，$rx_3(G)$ 的紧上界为 $rx_3(G[D])+4$，其中 $D$ 是 $G$ 的连通 2-控制集。接着，我们确定了 $K_{s,t}(3\leq s\leq t)$ 的紧上界以及 $(P_5,C_5)$-自由图的更优上界。最后，我们获得了一般图 3-彩虹指数的 sharp 界。