图的顶点彩虹指数

连通图 $G$ 的 $k$-彩虹指数 $rx_k(G)$ 由 Chartrand、Okamoto 和 Zhang 于 2010 年提出。作为 $k$-彩虹指数的自然对应概念，本文引入了 $k$-顶点彩虹指数 $rvx_k(G)$ 的概念。对于图 $G=(V,E)$ 和至少包含两个顶点的集合 $S\subseteq V$，\emph{$S$-Steiner 树} 或 \emph{连接 $S$ 的 Steiner 树}（简称 \emph{$S$-树}）是指 $G$ 的一个子图 $T=(V',E')$，该子图是一棵树且满足 $S\subseteq V'$。对于 $S\subseteq V(G)$ 且 $|S|\geq 2$，若 $V(T)\setminus S$ 中的顶点具有互不相同的颜色，则称 $S$-Steiner 树 $T$ 为 \emph{顶点彩虹 $S$-树}。对于固定整数 $k$（$2\leq k\leq n$），若对于 $V(G)$ 的每个 $k$-子集 $S$ 都存在一个顶点彩虹 $S$-树，则称 $G$ 的顶点着色 $c$ 为 \emph{$k$-顶点彩虹着色}。此时，称 $G$ 为 \emph{顶点彩虹 $k$-树连通}。在 $G$ 的 $k$-顶点彩虹着色中所需的最少颜色数称为 $G$ 的 \emph{$k$-顶点彩虹指数}，记为 $rvx_k(G)$。当 $k=2$ 时，$rvx_2(G)$ 即为 $G$ 的顶点彩虹连接数 $rvc(G)$。本文给出了 $n$ 阶连通图 $G$ 的 $srvx_k(G)$ 的紧上下界，即 $0\leq srvx_k(G)\leq n-2$。我们获得了关于 3-顶点彩虹指数的 Nordhaus-Guddum 型结果，并证明了当 $n=4$ 时 $rvx_3(G)+rvx_3(\overline{G})=4$，而当 $n\geq 5$ 时 $2\leq rvx_3(G)+rvx_3(\overline{G})\leq n-1$。设 $t(n,k,\ell)$ 表示满足 $rvx_k(G)\leq \ell$ 的 $n$ 阶连通图 $G$ 的最小边数，其中 $2\leq \ell\leq n-2$ 且 $2\leq k\leq n$。本文也获得了 $t(n,k,\ell)$ 的上下界。