图的单色$k$-边连通染色

边染色图$G$中,若路径上任意两条边颜色相同,则称该路径为单色路径。对于$k\geq 2$,若$G$的任意两个不同顶点由至少$k$条边不交的单色路径相连,则称边染色图$G$为单色$k$-边连通的;若任意两个不同顶点由至少$k$条边不交的单色路径相连,且这$k$条路径的所有边染以同一颜色,则称$G$为一致单色$k$-边连通的。我们用$mc_k(G)$和$umc_k(G)$分别表示保证$G$为单色$k$-边连通和分别为保证$G$为一致单色$k$-边连通的最大颜色数。本文首先猜想:对任意$k$-边连通图$G$,$mc_k(G)=e(G)-e(H)+\lfloor\frac{k}{2}\rfloor$,其中$H$是$G$的最小$k$-边连通生成子图。我们验证了$k=2$时的猜想。我们还证明了当$k\geq4$为偶数时$G=K_{k+1}$的猜想,以及当$k\geq4$为偶数或$k=3$且$n\geq k$时$G=K_{k,n}$的猜想。当$G$是极小$k$-边连通图时,我们给出$mc_k(G)$的上界,即$mc_k(G)\leq k-1$,且当$G=K_{k,n}$时$mc_k(G)\leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$。对于一致单色$k$-边连通性,我们证明对所有$k$,$umc_k(G)=e(G)-e(H)+1$,其中$H$是$G$的最小$k$-边连通生成子图。