MD-数的上界与极值图的刻画

对边染色图 $G$，若其边割 $M$ 的边染以同色，则称 $M$ 为单色边割。若 $G$ 的任意两个不同顶点都被某个单色边割分离，则称 $G$ 为单色不连通图。对连通图 $G$，其单色不连通数（简称 $MD$-数）记为 $md(G)$，为使 $G$ 单色不连通所允许的最大颜色数。直径为 1 的图皆为完全图，故其 $MD$-数为 $1$。对直径至少为 3 的图，我们可构造 2-连通图使其 $MD$-数任意大；而对直径为 2 的图 $G$，我们证明若 $G$ 为 2-连通图则 $md(G)\leq 2$，若 $G$ 有割点则 $md(G)$ 等于 $G$ 的块数。因此我们将聚焦于直径为 2 的 2-连通图，给出其 $MD$-数分别依赖于连通度与独立数的两个上界。我们还刻画了 $MD$-数为 $2$ 的 $\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$-连通图（高连通度）以及 $MD$-数达到上界 $\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$ 的 2-连通图（低连通度）。对连通度小于 $\frac n 2$ 的图，我们证明若图的连通度与其阶 $n$ 呈线性关系，则其 $MD$-数被常数上界所界，并由此引出猜想：对 $k$-连通图 $G$，有 $md(G)\leq \left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor$。