关于图的彩虹顶点断连的进一步结果

设 $G$ 为一个非平凡连通且顶点着色的图。顶点集 $G$ 的一个子集 $X$ 称为彩虹的，若 $X$ 中任意两个顶点颜色不同。图 $G$ 称为\emph{彩虹顶点断连的}，若对 $G$ 的任意两个顶点 $x$ 和 $y$，存在一个顶点子集 $S$，使得当 $x$ 和 $y$ 不相邻时，$S$ 是彩虹的且 $x$ 和 $y$ 属于 $G-S$ 的不同连通分支；而当 $x$ 和 $y$ 相邻时，$S+x$ 或 $S+y$ 是彩虹的且 $x$ 和 $y$ 属于 $(G-xy)-S$ 的不同连通分支。这样的顶点子集 $S$ 称为 $G$ 的一个\emph{彩虹顶点割}。对连通图 $G$，其\emph{彩虹顶点断连数}记为 $rvd(G)$，是使 $G$ 成为彩虹顶点断连所需的最少颜色数。本文中，我们根据图的最小度和最大度给出了图的彩虹顶点断连数的界。对满足 $k\geq\frac{n}{2}$ 且 $rvd(G)=k$ 的图 $G$，我们给出了其最大规模的更紧上界。进而刻画了阶为 $n$ 且彩虹顶点断连数为 $n-1$ 的图，并得到了满足 $rvd(G)=n-1$ 的图 $G$ 的最大规模。此外，我们得到了性质 $rvd(G(n,p))=n$ 的尖锐阈值函数，并证明几乎所有图 $G$ 都有 $rvd(G)=rvd(\overline{G})=n$。最后，我们得到了一些 Nordhaus-Gaddum 型结果：对阶 $n\geq 24$ 的非平凡连通图 $G$ 及其补图 $\overline{G}$，其彩虹顶点断连数满足 $n-5\leq rvd(G)+rvd(\overline{G})\leq 2n$ 且 $n-1\leq rvd(G)\cdot rvd(\overline{G})\leq n^2$。