完全二部图与完全多部图的$k$-正常指数

设$G$是一个阶为$n$的非平凡连通图，其边着色为$c:E(G)\rightarrow\{1,2,\dots,t\}$，$t\in\mathbb{N}$，其中相邻边可以被赋予相同的颜色。如果$G$中的一棵树$T$没有两条相邻边被赋予相同的颜色，则称$T$为\emph{正常树}（proper tree）。设$k$是一个固定整数，满足$2\leq k\leq n$。对于顶点子集$S\subseteq V(G)$且$|S|\geq 2$，如果一棵树连接了$G$中的$S$，则称其为\emph{$S$-树}。$G$的\emph{$k$-正常着色}（$k$-proper coloring）是指$G$的一种边着色，其性质是对于$G$中任意$k$个顶点的集合$S$，在$G$中都存在一棵正常的$S$-树$T$。$G$的$k$-正常着色所需的最少颜色数定义为$G$的\emph{$k$-正常指数}（$k$-proper index），记为$px_k(G)$。在本文中，我们确定了所有完全二部图和完全多部图的 3-正常指数，并部分确定了它们在$k\geq 4$时的$k$-正常指数。