关于树的顶点区分边着色的一个注记

简单图 $G$ 的正常边着色称为顶点区分边着色（vdec），若对 $G$ 的任意两个不同顶点 $u$ 和 $v$，分配给关联于 $u$ 的边的颜色集合不同于关联于 $v$ 的边的颜色集合。$G$ 的所有 vdec 所需的最少颜色数记为 $\chi\,'_s(G)$，称为 $G$ 的 vdec 色数。令 $n_d(G)$ 表示 $G$ 中度为 $d$ 的顶点数。在本注记中，我们证明满足 $n_2(T)\leq n_1(T)$ 的树 $T$，若其直径 $D(T)=3$ 或两种特定直径 $D(T)=4$ 的树之一，则 $\chi\,'_s(T)=n_1(T)+1$；否则 $\chi\,'_s(T)=n_1(T)$；进一步当 $|E(T)|\leq 2(n_1(T)+1)$ 时 $\chi\,'_{es}(T)=\chi\,'_s(T)$，其中 $\chi\,'_{es}(T)$ 是 $T$ 的公平 vdec 色数。