近正则图顶点子集上的序列边着色

设 $G$ 为一个图且 $R\subseteq V(G)$。若图 $G$ 使用颜色 $1,\ldots,t$ 进行的正常边着色满足：对于每个顶点 $v\in R$，与其关联的边被着以颜色 $1,\ldots,d_{G}(v)$，其中 $d_{G}(v)$ 是顶点 $v$ 在 $G$ 中的度，则称该着色为 $R$-序列 $t$-着色。在本注记中，我们证明：若 $G$ 是满足 $\Delta(G)-\delta(G)\leq 1$ 且 $\chi^{\prime}(G)=\Delta(G)=r$ ($r\geq 3$) 的图，则 $G$ 存在一个 $R$-序列 $r$-着色，其中 $\vert R\vert \geq \left\lceil\frac{(r-1)n_{r}+n}{r}\right\rceil$，这里 $n=\vert V(G)\vert$ 且 $n_{r}=\vert\{v\in V(G):d_{G}(v)=r\}\vert$。作为推论，我们得到以下结果：若 $G$ 是满足 $\Delta(G)-\delta(G)\leq 1$ 且 $\chi^{\prime}(G)=\Delta(G)=r$ ($r\geq 3$) 的图，则 $\Sigma^{\prime}(G)\leq \left\lfloor\frac {2n_{r}(2r-1)+n(r-1)(r^{2}+2r-2)}{4r}\right\rfloor$，其中 $\Sigma^{\prime}(G)$ 是 $G$ 的边色和。