多重图的边区间着色

设 $G=(V_1(G),V_2(G),E(G))$ 为二部多重图，且 $R\subseteq V_1(G)\cup V_2(G)$。若使用颜色 $1,\ldots,t$ 对 $G$ 的边进行正常着色，使得每种颜色至少用于一条边，且对于每个顶点 $x\in R$，与其关联的边被染以 $d(x)$ 种连续的颜色（分别地，被染以颜色 $1,\ldots,d(x)$），其中 $d(x)$ 为顶点 $x$ 的度，则称该着色在 $R$ 上是区间的（分别地，连续的）。我们分别用 $w_1(G)$ 和 $W_1(G)$ 表示使得多重图 $G$ 存在在 $V_1(G)$ 上的区间着色（使用颜色 $1,\ldots,t$）的 $t$ 的最小值和最大值。本文获得了以下基本结果。**定理 2.** 对于任意 $k$，若 $w_1(G)\leq k\leq W_1(G)$，则存在多重图 $G$ 在 $V_1(G)$ 上使用颜色 $1,\ldots,k$ 的区间着色。**定理 3.** 判定多重图 $G$ 是否存在在 $V_1(G)$ 上的连续着色问题是 $NP$-完全的。**定理 4.** 如果对于任意边 $(x,y)\in E(G)$（其中 $x\in V_1(G)$），不等式 $d(x)\geq d(y)$ 成立，则存在多重图 $G$ 在 $V_1(G)$ 上的连续着色。**定理 1.** 如果 $G$ 没有重边和三角形，且图 $G$ 存在在 $V(G)$ 上使用颜色 $1,\ldots,k$ 的区间着色，则 $k\leq|V(G)|-1$。