图复合的区间边着色

用连续整数 $c_{1},\ldots,c_{t}$ 对图 $G$ 的边着色，若所有颜色均被使用，且关联于 $G$ 任意顶点的边颜色互异并构成一个整数区间，则称为区间 $t$-着色。如果图 $G$ 对某个正整数 $t$ 具有区间 $t$-着色，则称 $G$ 是区间可着色的。所有区间可着色图的集合记为 $\mathfrak{N}$。2004 年，Giaro 和 Kubale 证明了若 $G,H\in \mathfrak{N}$，则这些图的笛卡尔积属于 $\mathfrak{N}$。同年他们提出了图复合的类似问题作为开放问题。后来在 2009 年，第一作者证明了若 $G,H\in \mathfrak{N}$ 且 $H$ 是正则图，则 $G[H]\in \mathfrak{N}$。本文中，我们证明若 $G\in \mathfrak{N}$ 且 $H$ 具有一种特殊类型的区间着色，则 $G[H]\in \mathfrak{N}$。此外，我们展示所有正则图、完全二部图和树都具有这样的特殊区间着色。特别地，这蕴含若 $G\in \mathfrak{N}$ 且 $T$ 是树，则 $G[T]\in \mathfrak{N}$。