完全图的区间边着色

图 $G$ 的一个使用颜色 $1,2,\ldots,t$ 的边着色称为区间 $t$-着色，如果所有颜色都被使用，且 $G$ 的每个顶点所关联的边的颜色互不相同并构成一个整数区间。若图 $G$ 对某个正整数 $t$ 存在区间 $t$-着色，则称 $G$ 是区间可着色的。对于区间可着色图 $G$，$W(G)$ 表示使 $G$ 具有区间 $t$-着色的最大 $t$ 值。已知完全图是区间可着色的当且仅当其顶点数为偶数。然而，$W(K_{2n})$ 的精确值仅在 $n \leq 4$ 时已知。第二作者证明了若 $n = p2^q$，其中 $p$ 为奇数，$q$ 为非负整数，则 $W(K_{2n}) \geq 4n-2-p-q$。随后，他猜想若 $n \in \mathbb{N}$，则 $W(K_{2n}) = 4n - 2 - \left\lfloor\log_2{n}\right\rfloor - \left \| n_2 \right \|$，其中 $\left \| n_2 \right \|$ 是 $n$ 的二进制表示中 $1$ 的个数。本文我们引入一种基于完全图的 1-因子分解来构造其区间着色的新技术，用以推翻该猜想，改进 $W(K_{2n})$ 的下界和上界，并确定其在 $n \leq 12$ 时的精确值。