图的笛卡尔积的区间边着色 I

若图 $G$ 使用颜色 $1,...,t$ 的边着色满足所有颜色均被使用，且与 $G$ 的每个顶点关联的边的颜色互不相同并构成一个整数区间，则称其为区间 $t$-着色。若图 $G$ 对某个正整数 $t$ 存在区间 $t$-着色，则称 $G$ 为区间可着色的。令 $\mathfrak{N}$ 为所有区间可着色图的集合。对于图 $G\in \mathfrak{N}$，使 $G$ 存在区间 $t$-着色的 $t$ 的最小值和最大值分别记为 $w(G)$ 和 $W(G)$。本文首先证明：若 $G$ 是 $r$-正则图且 $G\in \mathfrak{N}$，则 $W(G\square P_{m})\geq W(G)+W(P_{m})+(m-1)r$ ($m\in \mathbb{N}$) 且 $W(G\square C_{2n})\geq W(G)+W(C_{2n})+nr$ ($n\geq 2$)。接下来，我们研究了网格、柱面和环面的区间边着色。特别地，我们证明了若 $G\square H$ 是平面图且两个因子图均至少包含 3 个顶点，则 $G\square H\in \mathfrak{N}$ 且 $w(G\square H)\leq 6$。最后，我们证实了第一作者关于 $n$ 维超立方体 $Q_{n}$ 的猜想，并证明 $Q_{n}$ 存在区间 $t$-着色当且仅当 $n\leq t\leq \frac{n(n+1)}{2}$。