关于图的区间染色

图 $G=(V,E)$ 的区间染色是一种正常染色 $c\colon E\to \mathbb{Z}$，使得与任意给定顶点关联的边的颜色集合构成 $\mathbb{Z}$ 的一个区间。图 $G$ 的区间厚度 $\theta(G)$ 是使得 $G$ 可边划分为 $k$ 个区间可染图的最小整数 $k$，而 $\theta(n)$ 是所有 $n$ 个顶点的图上区间厚度的最大值。我们证明了对某个 $c>0$ 有 $c \frac{\log n}{\log \log n} \leq \theta(n) \leq n^{8/9+o(1)}$。特别地，这回答了 Asratian、Casselgren 和 Petrosyan 提出的一个问题。在论文的第二部分，我们证实了 Axenovich 的一个猜想：在 $n$ 个顶点的平面图上的区间染色中所使用颜色的最大数量至多为 $3n/2-2$。