关于图的亏度的进一步结果

图 $G$ 的正常 $t$-边染色是一个映射 $\alpha: E(G)\rightarrow \{1,\ldots,t\}$，使得所有颜色均被使用，且对每条相邻边 $e,e^{\prime}\in E(G)$ 有 $\alpha(e)\neq \alpha(e^{\prime})$。若 $\alpha$ 是图 $G$ 的正常边染色且 $v\in V(G)$，则顶点 $v$ 的谱记为 $S\left(v,\alpha \right)$，即与 $v$ 关联边上出现的所有颜色组成的集合。$\alpha$ 在顶点 $v\in V(G)$ 处的亏度记为 $def(v,\alpha)$，是必须添加到 $S\left(v,\alpha \right)$ 以形成一个区间的最小整数个数；而图 $G$ 的正常边染色 $\alpha$ 的亏度 $def\left(G,\alpha\right)$ 定义为和 $\sum_{v\in V(G)}def(v,\alpha)$。图 $G$ 的亏度记为 $def(G)$，定义如下：$def(G)=\min_{\alpha}def\left(G,\alpha\right)$，其中最小值取遍 $G$ 的所有可能正常边染色。对图 $G$，使其存在亏度 $def(G,\alpha)=def(G)$ 的正常 $t$-边染色 $\alpha$ 的 $t$ 的最小值和最大值分别记为 $w_{def}(G)$ 和 $W_{def}(G)$。本文得到了 $w_{def}(G)$ 和 $W_{def}(G)$ 的一些界。特别地，我们证明对任意 $l\in \mathbb{N}$，存在图 $G$ 使得 $def(G)>0$ 且 $W_{def}(G)-w_{def}(G)\geq l$。已知对完全图 $K_{2n+1}$，有 $def(K_{2n+1})=n$（$n\in \mathbb{N}$）。近来，Borowiecka-Olszewska、Drgas-Burchardt 和 Ha{\l}uszczak 提出了关于近完全图亏度的如下猜想：若 $n\in \mathbb{N}$，则 $def(K_{2n+1}-e)=n-1$。本文证实了该猜想。