图的顶点区分边染色

设 $k \ge 1$ 为整数，$G$ 为非空简单图。图 $G$ 的一条 \emph{边-$k$-染色} $\varphi$ 是将颜色从 $\{1,\ldots,k\}$ 指定给 $G$ 的边的染色，使得相邻的两条边不能获得相同的颜色。对于顶点 $v \in V(G)$，记 $\varphi(v)$ 为指派给与 $v$ 相连的边的颜色集合。若对任意两个不同顶点 $u,v \in V(G)$ 都有 $\varphi(u) \ne \varphi(v)$，则称染色 $\varphi$ 为\emph{顶点区分}的。若存在这样的顶点区分边染色，当且仅当 $G$ 最多只有一个孤立顶点且不存在孤立边。称为 $G$ 的\emph{顶点区分色指数}的最小整数 $k$，记作 $\chi'_{vd}(G)$。1997 年，Burris 和 Schelp 猜想称对每个至多有一个孤立顶点且不存在孤立边的图 $G$，都有 $k(G) \;\le\; \chi'_{vd}(G) \;\le\; k(G)+1，其中$k(G)$是顶点区分染色在$G$中所需的自然下界。在 2004 年，Balister、Kostochka、Li 和 Schelp 验证了该猜想对于满足$\Delta(G) \ge \sqrt{2|V(G)|} + 4 $和$\delta(G) \ge 5$的图$G$。对于不满足这些条件的图，已知的对$\chi'_{vd}(G)$的最佳一般上界仍为$|V(G)| + 1$，该上界由 Bazgan、Harkat-Benhamdine、Li 和 Wo\'zniak 在 1999 年给出。本文证明$\chi'_{vd}(G) \le \floor{5.5k(G)+6.5}$，这在$k(G) = o(|V(G)|)$时显著优于$|V(G)| + 1$的界限。我们进一步证明$\chi'_{vd}(G) \le k(G) + 3$对所有$d$正则图$G$有效，其中$d \ge \log_2 |V(G)|\geq 8$。