关于无 $G$ 图着色的极值结果

设 $H=(V(H),E(H))$ 为一图。 $H$ 的一个 $k$-着色是一个映射 $\pi : V(H) \longrightarrow \{1,2,\ldots, k\}$，使得每个色类诱导出一个无 $K_2$ 子图。对于阶至少为 $2$ 的图 $G$，$H$ 的一个无 $G$ 的 $k$-着色是一个映射 $\pi : V(H) \longrightarrow \{1,2,\ldots,k\}$，使得 $\pi$ 的每个色类所诱导的 $H$ 的子图是无 $G$ 的，即不含 $G$ 的拷贝。 $H$ 的无 $G$ 色数是使得存在 $H$ 的无 $G$ 的 $k$-着色的最小整数 $k$，记为 $\chi_G(H)$。若 $\chi_G(H)=k$ 且 $H$ 的每个 $k$-无 $G$-着色都产生相同的色类，则称图 $H$ 为唯一 $k$-无 $G$-着色。若对 $E(H)$ 中每条边都有 $\chi_G(H\setminus\{e\})= \chi_G(H)-1$，则称图 $H$ 关于无 $G$ 是极小的，或称为无 $G$-极小。本文给出了关于唯一 $k$-无 $G$-着色与 $k$-无 $G$-极小的一些界与性质。