含禁用子式的图幂的次色数

图$G$的一个$k$-次着色是一个函数$f:V(G) \to \{0,\ldots,k-1\}$,使得染为颜色$i$的顶点集导出团的不交并。次色数$\chi_{\textrm{sub}}(G)$是使得$G$容许一个$k$-次着色的最小$k$。Ne\u{s}et\u{r}il、Ossona de Mendez、Pilipczuk与Zhu(2020)近期提出了当$G$为平面图时求$\chi_{\textrm{sub}}(G^2)$紧上界的问题。我们证明当$G$为平面图时$\chi_{\textrm{sub}}(G^2)\le 43$,改进了他们的135上界。当平面图$G$具有更大围长时,我们给出更好的界。此外,我们证明$\chi_{\textrm{sub}}(G^{3})\le 95$,改进了先前的364上界。为此我们改编了Almulhim与Kierstead(2022)的一些近期技术,同时将Van den Heuvel、Ossona de Mendez、Quiroz、Rabinovich与Siebertz(2017)的三角剖分平面图分解推广到任意围长的平面图。注意这些分解是平面图图积结构定理的前身。当$G$具有有界树宽、有界简单树宽、有界亏格或禁用团或二部团作为子式时,我们对所有$p$给出了$\chi_{\textrm{sub}}(G^p)$的改进界。为此我们引入了一族参数,其构成了强着色数与弱着色数之间的渐变。我们给出了来自此类图的这些参数的上界。最后,我们对来自任意固定具有有界分层团宽类的图的次色数给出了2-近似算法。特别地,这蕴含了对来自任意固定具有有界分层树宽类(如平面图类)的图幂$G^p$的次色数的2-近似算法。该算法即使在幂$p$与图$G$未知时也有效。