有界度图与正则图的星着色

图 G 的一个 k-星着色是一个函数 f:V(G)→{0,1,…,k-1}，使得对 G 的每条边 uv 有 f(u)≠f(v)，且 G 的每个双色连通子图是一颗星。G 的星色数 χ_s(G) 是使得 G 是 k-星可着色的最小整数 k。我们证明对每個 d-正则图 G（d≥3）有 χ_s(G)≥⌈(d+4)/2⌉。我们揭示了达到此下界偶度正则图 G 的结构与性质。此类图 G 的结构与 G 的某类欧拉定向相关联。此外，该结构可在 Telle 与 Proskurowski（SIDMA, 1997）的 LC-VSP 框架下表达，因此可由以树宽、团宽或秩宽为参数的 FPT 算法测试。我们证明对 p≥2，一个 2p-正则图 G 是 (p+2)-星可着色的仅当 n:=|V(G)| 被 (p+1)(p+2) 整除。对每个 p≥2 及被 (p+1)(p+2) 整除的 n，我们构造了一个含 n 个顶点的 2p-正则哈密顿图，其是 (p+2)-星可着色的。问题 k-STAR COLOURABILITY 以图 G 为输入并询问 G 是否 k-星可着色。我们证明 3-STAR COLOURABILITY 对最大度数为三且围长任意大的平面二部图是 NP-完全的。此外，测试最大度数为八的二部图是否具有唯一的 3-星着色（直至颜色交换）是 coNP-难的。对 k≥3，最大度数为 k 的二部图的 k-STAR COLOURABILITY 是 NP-完全的，且除非 ETH 不成立否则甚至不容纳 2^{o(n)}-时间算法。