广义 Petersen 图的星边着色

图 $G$ 的星色指数，记为 $\chi^\prime_s(G)$，是使得 $G$ 存在一个使用 $k$ 种颜色的正常边着色且每条长度为四的路和圈都不是双色的最小整数 $k$。令 $d$ 为 $n$ 和 $k$ 的最大公约数。Zhu 等人 (\footnotesize{Discussiones Mathematicae: Graph Theory, 41(2): 1265, 2021}) 证明了对每个整数 $k$ 和 $n> 2k$ 且 $d\geq 3$，广义 Petersen 图 $GP(n,k)$ 允许一个 5-星边着色，除了 $d = 3$、$k\neq d$ 且 $\frac{n}{3}= 1\pmod{3}$ 的情况。此外，他们猜想对每个 $n>2k$，$\chi^\prime_s(GP(n,k))\leq 5$，除了 $GP(3,1)$。在本文中，我们证明了对每个 $n\geq 2k$ 且 $d\geq 3$ 的 $GP(n,k)$，他们的猜想成立。事实上，我们为 $n\geq 2k$ 且 $d\geq 3$ 的 $GP(n,k)$ 提供了一个 5-星边着色。我们还获得了关于 $d=2$ 的 $GP(n,k)$ 的 5-星边着色的一些结果。此外，Dvo{\v{r}}{\'a}k 等人 ({\footnotesize Journal of Graph Theory, 72(3):313-326, 2013}) 猜想次三次图的星色指数至多为 6。因此，我们的结果也证明了对于广义 Petersen 图（作为次三次图的一类）这个猜想成立。