填充色数、(1,1,2,2)-染色与 Petersen 图的特征刻画

图 $G$ 的填充色数 $\chi_{\rho}(G)$ 是最小整数 $k$，使得 $G$ 的顶点集可划分为集合 $\Pi_1,\ldots,\Pi_k$，其中 $\Pi_i$（$i\in [k]$）为 $i$-填充。提出并研究了如下猜想：若 $G$ 为次立方图，则 $\chi_{\rho}(S(G))\le 5$，其中 $S(G)$ 为 $G$ 的细分图。该猜想对所有循环广义棱柱成立。为得到此结果，证明了若 $G$ 为循环的广义棱柱，则 $G$ 是 $(1,1,2,2)$-可染色的当且仅当 $G$ 不是 Petersen 图。进一步证明了该猜想对一类图成立，这类图可由广义棱柱通过将其边集中的一个 $n$-圈替换为若干圈之并（其中至多一个为 5-圈）得到。还考虑了将其每条边细分固定次数所得图的填充色数。