打包色数与色数及团数的对比

图 $G$ 的打包色数 $\chi_{\rho}(G)$ 是最小的整数 $k$，使得 $G$ 的顶点集可以划分为集合 $V_i$，$i\in [k]$，其中每个 $V_i$ 都是一个 $i$-打包。在本文中，我们研究了对于给定的正整数三元组 $(a,b,c)$，是否存在一个图 $G$ 使得 $\omega(G) = a$，$\chi(G) = b$，且 $\chi_{\rho}(G) = c$。如果存在，我们称 $(a, b, c)$ 是可实现的。证明了 $b=c\ge 3$ 蕴含 $a=b$，并且一旦 $k\ge 4$，三元组 $(2,k,k+1)$ 和 $(2,k,k+2)$ 是不可实现的。部分所得结果源自于对 Mycielskian 的打包色数所证明的界限。此外，给出了 Mycielskian 的独立数公式。还证明了关于 $\Delta(G)$ 和 $\alpha(G)$ 的 $\chi_{\rho}(G)$ 的下界。