三次图细分图的填装色数

图 $G$ 的填装 $k$-染色是 $V(G)$ 到集合 $V_1,\ldots,V_k$ 的一个划分，使得对每个 $1\leq i\leq k$，$V_i$ 中任意两个不同 $x,y$ 之间的距离至少为 $i+1$。图 $G$ 的填装色数 $\chi_p(G)$ 是使 $G$ 具有填装 $k$-染色的最小 $k$。对图 $G$，令 $D(G)$ 表示将 $G$ 每条边细分所得的图。关于在次三次图类 $G$ 上 $\chi_p(G)$ 与 $\chi_p(D(G))$ 最大值的问题出现在若干论文中。Gastineau 与 Togni 问是否对任意次三次图 $G$ 有 $\chi_p(D(G))\leq 5$，后来 Bresar、Klavzar、Rall 与 Wash 猜想此结论，但此前未证明任何上界。近来作者证明了在次三次图类 $G$ 中 $\chi_p(G)$ 无界。相反，本文我们证明在该类中 $\chi_p(D(G))$ 有界，且不超过 $8$。