若干亚三次图的填装(1,1,2,2)-染色

对于非递减正整数序列$S = (s_1, \ldots, s_k)$，填装$S$-染色是将$V(G)$划分为集合$V_1, \ldots, V_k$，使得对每个$1\leq i \leq k$，任意两个不同$x,y\in V_i$之间的距离至少为$s_i+1$。使得$G$具有填装$(1,2, \ldots, k)$-染色的最小$k$称为$G$的填装色数，记为$\chi_p(G)$。对于图$G$，令$D(G)$表示通过对每条边进行细分而从$G$得到的图。是否对所有亚三次图都有$\chi_p(D(G)) \le 5$的问题最初由Gastineau和Togni提出，后来由Bresar、Klavzar、Rall和Wash猜想。Gastineau和Togni注意到，若能证明除Petersen图外的每个亚三次图都是填装$(1,1,2,2)$-可染色的，则该猜想成立。最大平均度mad($G$)定义为$\max\{\frac{2|E(H)|}{|V(H)|}: H \subset G\}$。在本文中，我们证明最大平均度mad($G)<\frac{30}{11}$的亚三次图是填装$(1,1,2,2)$-可染色的。作为推论，Bresar等人的猜想对满足mad($G)<\frac{30}{11}$的每个亚三次图$G$成立。