次二次图的 $S$- packing 着色问题的进一步结果与问题

对于非递减整数序列 $S=(a_1,a_2,\dots,a_k)$,若 $G$ 的顶点集合被划分为 $k$ 个子集 $V_1,V_2,\dots,V_k$,且其中每个子集中任意两个不同顶点 $x,y$ 的距离至少为 $a_i+1$,则称此为 $G$ 的 $S$-packing 着色。我们研究次二次图上 $S$-packing 着色问题的子类:对于 $0\le i\le 3$,若次二次图 $G$ 中每个度为3的顶点最多相邻至 $i$ 个度为3的顶点,则称 $G$ 为 $i$-饱和。此外,若次二次图中度为3的顶点的所有邻居均为度为3的顶点,则称此顶点为重度顶点,且若所有重度顶点最多相邻至 $i$ 个重度顶点,则称 $G$ 为 $(3,i)$-饱和。我们证明每个1-饱和次二次图都是 $(1,1,3,3)$-packing 可着色且 $(1,2,2,2,2)$-packing 可着色。我们也证明每个 $(3,0)$-饱和次二次图是 $(1,2,2,2,2,2)$-packing 可着色。